如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1，两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2。（1）求证：BM是⊙O2

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₂经过⊙O₁的圆心O₁，两圆的连心线交⊙O₁于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2。
（1）求证：BM是⊙O₂的切线；
（2）求的长。

答案

解：如图，连结，
∵⊙O₁和⊙O₂是等圆，且O₁在⊙O₂上，
∴点O₂也在⊙O₁上，
∵O₁O₂是两圆的连心线，
∴MO₂是⊙O₁的直径，
∴∠MBO₂=90°，
又∵直线BM经过半径的O₂B的外端，
∴直线BM是⊙O₂的切线； （2）连结O₁A、O₁B，
∵点B既在⊙O₁上，又在⊙O₂上，
∴O₁O₂=O₁B=O₂B，
∴∠NO₁B=60°，
∵O₁O₂是两圆的连心线，
∴O₁O₂⊥AB，BN=，
在Rt△NO₁B中，sin60°=，O₁B=2，
∵O₁M=O₁B，
∴∠O₁MB =∠O₁BM=∠BO₁N =×60°=30°，
∴在Rt△MBN中，∠MBN= 60°，
∴∠MO₁A=120°，
∴。