已知：如图所示，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°。（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB=75°

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已知：如图所示，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°。
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为2，求BD的长。

答案

解：（1） ∵OD=OC， ∠DOC=90°，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°，
∵点C在⊙O上，
∴直线AC是⊙O的切线；（2）∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴
 ∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
如图，作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，
∴DE=DC·sin30°=
∵∠B=∠ACD=45°，
∴。