已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，连接BD。（1）求A

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，连接BD。
（1）求AC的长；
（2）当OA为多少时，BD与⊙O相切？并说明理由。

答案

解：（1）BC= AB·sinA=10×=6，∴AC==8；（2）OA=，
理由：连接OD，DE，
如果BD与⊙O相切，则OD⊥BD，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A+∠BDC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，解得CD=，
∴AD=8-=，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，解得AE=，
∴OA=。