如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD//BC，E是DA延长线上一点，AB2=AE·BC，BE和CA的延长线交于点F。（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知BC=

题型：四川省模拟题难度：来源：

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD//BC，E是DA延长线上一点，AB²=AE·BC，BE和CA的延长线交于点F。
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BC=18，CD=12，AF=16，求BE和AD的长。

答案

解：（1）证明：∵AD//BC，∠ABC=∠EAB，
∵AB²=AE·BE，
∴，
∴△ABC∽△EAB，
∴∠1=∠2，
连结OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠3=∠BAO，
∴∠O+2∠3=180°，
又∵∠O=2∠2，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EBO=90°，
∴OB⊥BF，又B点在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；（2）∵AD//BC，AB=CD，
∴AB=CD=12，
∵AB²=AE·BC，
∴，
∵AD//BC，
∴△EFA∽△FBC，
∴，
∴，
∴AC=20，
由（1）知△ABC∽△EAB，
∴，
∴，
由△EBA∽△EBD（或由切割线定理）得EB²=EA·ED，
∴，
∴AD=ED-EA=，
综上，EB=，AD=为所求。