已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值8．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求实数a的值．

题型：不详难度：来源：

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值8．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的值．

答案

（Ⅰ）函数的导数为f"（x）=a（x-2）²+2（x-2）ax=3ax²-8ax+4a=3a(x-2)(x-

2

3

)，
因为a＞0，
则由f"（x）＞0，则x＞2或x＜

2

3

，此时函数单调递增，
由f"（x）＜0，则

2

3

＜x＜2，此时函数单调递减．
即函数的单调增区间为（2，+∞）和（-∞，

2

3

）．
函数的单调递减区间为（

2

3

，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=

2

3

时，函数取得极大值，
所以由f（

2

3

）=8得，f(

2

3

)=

2

3

a(

2

3

-2)2=

32a

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=8，
解得a=

27

4

．