已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连接CD，并延长交⊙O于点E。（1）求证：∠ABE=∠BCE

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连接CD，并延长交⊙O于点E。
（1）求证：∠ABE=∠BCE；
（2）当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明。

答案

解：（1）∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCD=∠E，
∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB，
∴∠ABE=∠BCE；（2）猜想：sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化，
证明：如图，连接AE，
∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A，
∴∠ABE=∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴sin∠BCE=sin45°=，
∴sin∠BCE的值不随点P位置的变化而变化。