如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8。半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3。将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到R

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8。半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3。将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E。
（1）画出旋转后的Rt△ADE；（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；
（3）判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由。

答案

解：（1）图“略”；
（2）设⊙M与DE的交点为P、Q，连结MP、MN，过M作MF⊥DE于F，则PQ=2PF，
在Rt△ABC中，AC=AB=4，所以，AE=AC=4，NE=AE-AN=4-3=1，
在Rt△PFM中，PF==，
所以PQ=2，
（3）AD与⊙M相切；
过点M作MH⊥AD，
在Rt△ANM中，tan∠MAN=，所以，∠MAN=30°，
因为∠DAE=∠BAC=60°，所以∠MAD=∠MAN=30°，所以，MH=MN，
所以，AD与⊙M相切。