已知：如图，AB为圆O的弦，过点D作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：如图，AB为圆O的弦，过点D作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，tan∠ACB=，求CD的长。

答案

解：（1）直线BD与⊙O相切，
证明：如图，连接OB
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD，
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A，
∴∠A=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠BOC+2∠3=180°，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠A+∠3=90°，
∴∠CBD+∠3=90°，
∴∠OBD=90°，
∴直线B与⊙O相切；（2）∵∠D=∠ACB·tan∠ACB=4/3，
∴tanD=4/3，
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，tanD=4/3，
∴sinD=4/5，OD==5
∴CD=OD-OC=1。