已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E。（1）求证：AD是圆O的切线；（2）若PC

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E。

（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）若PC是圆O的切线，BC=8，求DE的长。

答案

（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BD
又∵BD是圆O直径，
∴AD是圆O的切线；（2）解：连接OP，
由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2，
∵PC是圆O的切线，O为圆心，
∴∠OPC=90°，由勾股定理，得PC=4

，
在△OPC中，tan∠OCP

，
在△DEC中，∵tan∠DCE

，
∴DE=DC·tan∠DCE=4×

。

举一反三

如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E。
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长。

题型：北京模拟题难度：| 查看答案

请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即如图（1），若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD，请你根据以上材料，解决下列问题，已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作圆O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R。（如图（2））