如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M 作AB的垂线交弦AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E。（1）证明CF是⊙O

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M 作AB的垂线交弦AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E。
（1）证明CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE=，求AM的长。

答案

解：（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMB=90°，
∴∠A=∠E，
∵∠ACO=∠A，∠ECF=∠E，
∴∠ACO=∠ECF，
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FCA+∠ECF=∠ECA=90°，
∴CF为⊙O的切线。

（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∵AB=2，AC=
∴BC=1，∠A=30°，
∵AC=CE=，
∴ BE=BC+CE=1+ 
在Rt△BEM中，∠BME=90°
∵∠E=∠A=30°，
∴MB=BE=，
∴AM=AB-MB=2-=。