已知如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，且PA⊥AB于点A，PO⊥AC于点M。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）当时，求PC的长。

题型：北京模拟题难度：来源：

已知如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，且PA⊥AB于点A，PO⊥AC于点M。
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当时，求PC的长。

答案

解：（1）证明：如图，连接OC，
∵PA⊥AB，
∴∠PAO=90°，
∵AO=CO，PO⊥AC于点M，
∴∠AOP=∠COP，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∵C为半径OC的外端，
∴PC是⊙O的切线；（2）∵PO⊥AC于点M，
∴M为AC中点，
又∵O是AB中点，
∴M∥BC，
∴∠MOA=∠B，
∴cos∠MOA=cosB=，
∵PO⊥AC于点M，在中，，
∵cos∠POA=，
∴在Rt△PAO中，，
，
∵PA= PC，
。