请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即如图（1），若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD，请你根据以上材料，解决下列问题，

题型：北京模拟题难度：来源：

请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即如图（1），若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD，请你根据以上材料，解决下列问题，已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作圆O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R。（如图（2））
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图（3）中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图（4）中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图（2）），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明。

答案

解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，如图（1）所示，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C，
∴Q与A重合，R与C重合，OP=1，AC=4，
∴=（2）连接OA，如图（2）所示，OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2
∴∠OAP=30°，
∴AP=，
OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°，
∴∠APQ=∠OAP=30°，
∴在Rt△AQP中，PQ=，同理：；（3）猜想：
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接CE，如图（3）所示
∴ECA=90°AEi直线m，PQ上直线m，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°
∴∠EAC=∠APQ
∴△AEC∽△PAQ
，
同理可得： ，
①+②，得
过点P作直径交⊙O于点M，N由阅读材料可知：AP·PC=PM·PN=3，
。