如图1,已知⊙O和⊙O′都经过点A和点B,直线PQ切⊙O于点P,交⊙O′于点Q、M,交AB的延长线于点N.(1)求证:PN2=NM•NQ.(2)若M是PQ的中点
题型:不详难度:来源:
如图1,已知⊙O和⊙O′都经过点A和点B,直线PQ切⊙O于点P,交⊙O′于点Q、M,交AB的延长线于点N. (1)求证:PN2=NM•NQ. (2)若M是PQ的中点,设MQ=x,MN=y,求证:x=3y. (3)若⊙O′不动,把⊙O向右或向左平移,分别得到图2、图3、图4,请你判断(直接写出判断结论,不需证明): ①(1)题结论是否仍然成立? ②在图2中,(2)题结论是否仍然成立? 在图3、图4中,若将(2)题条件改为:M是PN的中点,设MQ=x,MN=y,则x=3y的结论是否仍然成立?
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答案
(1)证明:∵PQ切⊙O于P, ∴PN2=NB•NA, ∵NB•NA=NM•NQ, ∴PN2=NM•NQ;
(2)证明:∵PM=MQ=x,MN=y,PN2=NM•NQ, ∴(x-y)2=y(x+y), 整理,得x2=3xy, ∵x≠0, ∴x=3y;
(3)①在图2、图3、图4中(1)题结论都成立. ②在图2中(2)题结论成立.在图3、图4中,按题意改变条件后,x=3y的结论仍然成立. |
举一反三
如图1,圆O1与圆O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与圆O1交于点C,与圆O2交于点D.经过点B的直线EF与圆O1交于点E,与圆O2交于点F.
(1)求证:CE∥DF; (2)在图1中,若CD和EF可以分别绕点A和点B转动,当点C与点E重合时(如图2),过点E作直线MN∥DF,试判断直线MN与圆O1的位置关系,并证明你的结论. |
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),⊙A的半径是2,⊙P的半径是1,满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有______个. |
如图,在边长为3cm的正方形中,⊙P与⊙Q相外切,且⊙P分别与DA、DC边相切,⊙Q分别与BA、BC边相切,则圆心距PQ为______. |
如图所示,已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和,它们的公共弦AB=6,求O1O2的长.
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直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=10,AD=5,BC=15,分别以点C、D为圆心,CB、DA的长为半径作圆,则两圆的位置关系是( ) |
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