半径分别为2、3的两圆⊙P、⊙Q外切于点B，AB、BC分别是它们的直径，点D在☉Q上，连接DA交⊙P于点E，连接BD、BE，BD正好平分∠CBE．（1）试说明：

题型：不详难度：来源：

半径分别为2、3的两圆⊙P、⊙Q外切于点B，AB、BC分别是它们的直径，点D在☉Q上，连接DA交⊙P于点E，连接BD、BE，BD正好平分∠CBE．
（1）试说明：AD是⊙Q的切线
（2）试通过三角形相似求BE的长
（3）试求BD的长．

答案

（1）连接QD，
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．

（2）∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴

BE

QD

=

AB

AQ

，
∴

BE

3

=

2+2

2+2+3

，
∴BE=

12

7

．

（3）在△AEB中，由勾股定理得：AE=

AB2-BE2

=

8 10

7

，
∵BE∥QD，
∴

AE

DE

=

AB

BQ

，
即

8 10 7

DE

=

2+2

3

，
∴DE=

6 10

7

，
在△BED中，由勾股定理得：BD=

DE2+BE2

=

( 6 10 7 )2+( 12 7 )2

=

6 14

7

，
∴BD=

6

7

14

．