如图,⊙O为△ABC的外接圆,且AB=AC,过点A的直线交⊙O于D,交BC延长线于F,DE是BD的延长线,连接CD.(1)求证:∠EDF=∠CDF;(2)求证:

如图,⊙O为△ABC的外接圆,且AB=AC,过点A的直线交⊙O于D,交BC延长线于F,DE是BD的延长线,连接CD.(1)求证:∠EDF=∠CDF;(2)求证:

题型:不详难度:来源:
如图,⊙O为△ABC的外接圆,且AB=AC,过点A的直线交⊙O于D,交BC延长线于F,DE是BD的延长线,连接CD.
(1)求证:∠EDF=∠CDF;
(2)求证:AB2=AF•AD;
(3)若BD是⊙O的直径,且∠EDC=120°,BC=6cm,求AF的长.
答案
(1)证明:根据切割线定理的推论可知:FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F,
∴△FDC△FBA,
∴∠CDF=∠ABC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ADB=∠ACB(所对的弧相等)
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF,
∴∠EDF=∠CDF;

(2)证明:由(1)已得出∠ADB=∠ABC,
∵∠BAD=∠FAB,
∴△BAD△FAB,
∴AD:AB=AB:AF
∴AB2=AF•AD;

(3)∵∠EDC=120°,
∴∠EDF=∠CDF=60°,
∴∠ACB=∠ADB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABD=30°
Rt△ABD中,AB=6cm,∠ABD=30°,
∴AD=AB•tan30°=2


3
(cm),
由(2)知道:AB2=AF•AD,即6×6=AF×2


3

∴AF=6


3
(cm).
举一反三
如图,MN是⊙O的直径,若∠A=10°,∠PMQ=40°,以PM为边作圆的内接正多边形,则这个正多边形是______边形.
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某课题学习在探讨一团周长为4a的线圈时,发现了如下两个命题:
命题1:如图①,当线圈做成正三角形ABC时,能被半径为a的圆形纸片完全盖住.
命题2:如图②,当线圈做成正方形ABCD时,能被半径为a的圆形纸片完全盖住.
请你继续探究下列几个问题:
(1)如图③,当线圈做成正五边形ABCDE时,请说明能被半径为a的圆形纸片完全盖住;
(2)如图④,当线圈做成平行四边形ABCD时,能否被半径为a的圆形纸片完全盖住请说明理由;
(3)如图⑤,当线圈做成任意形状的图形时,是否还能被半径为a的圆形纸片完全盖住?若能盖住,请通过计算说明;若不能盖住,请你说明理由.
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如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且AB=CD=5,AC=7,BE=3.下列命题错误的是(  )
A.△ABE≌△DCE
B.∠BDA=45°
C.S四边形ABCD=24.5
D.图中全等的三角形共有2对

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直径为20cm的圆内接正六边形的面积是______cm2
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如图,ABCD为圆内接四边形,E是AD延长线上一点,如果∠B=60°,那么∠EDC等于(  )
A.120°B.60°C.40°D.30°

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