如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF。
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F 为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）连结BC，
∵A（10，0），
∴OA=10 ，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=。（2）连结OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，OE=，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴，
即，
∴EF=3；（3）设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC 中点，
即OE=，
∴E₁（，0）；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=，
∵△ECF∽△EAD，
∴，
即，
解得：，
∴E₂（，0）；②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，
只能使∠ECF=∠BAO，
连结BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED，
∴，而AD=2BE，
∴，
即，解得，＜0（舍去），
∴E₃（，0）。③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED，
∴，而AD=2BE，
∴，
∴，
解得，＜0（舍去），
∵点E在x轴负半轴上，
∴E₄（，0），
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：
0）。