解: (1) ∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转, ∴OA旋转了45度. ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为. (2) ∵MN∥AC, ∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45度. ∴∠BMN=∠BNM. ∴BM=BN. 又∵BA=BC, ∴AM=CN. 又∵OA=OC,∠OAM=∠OCN, ∴△OAM≌△OCN. ∴∠AOM=∠CON. ∴∠AOM=(90°﹣45°)=22.5度. ∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45°﹣22.5°=22.5度. (3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化. 证明:延长BA交y轴于E点, 则∠AOE=45°﹣∠AOM,∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM, ∴∠AOE=∠CON. 又∵OA=OC,∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN. ∴△OAE≌△OCN. ∴OE=ON,AE=CN. 又∵∠MOE=∠MON=45°,OM=OM, ∴△OME≌△OMN. ∴MN=ME=AM+AE. ∴MN=AM+CN, ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4. ∴在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.
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