如图，把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，已知正方形的边长为4，那么折痕EF的长为______．

题型：不详难度：来源：

如图，把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，已知正方形的边长为4，那么折痕EF的长为______．

答案

过E点作EH⊥BC于H点，MD′交AD于G点，如图，
∵把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，
∴FC=FM，BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°，
设MF=x，则BF=4-x，
在Rt△BFM中，MF²=BF²+BM²，即x²=（4-x）²+2²，
∴x=

5

2

，
∴MF=FC=

5

2

，BF=4-

5

2

=

3

2

，
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴Rt△AGM∽Rt△BMF，
∴

AM

BF

=

AG

BM

=

MG

MF

，即

2

3 2

=

AG

2

=

MG

5 2

，
∴AG=

8

3

，MG=

10

3

，
设DE=t，则D′E=t，GE=4-t-

8

3

=

4

3

-t，
易证得Rt△D′GE∽Rt△AGM，
∴

GE

GM

=

D′E

AM

，即

4 3 -t

10 3

=

t

2

，解得t=

1

2

，
∴HC=ED=

1

2

，
∴FH=4-

1

2

-

3

2

=2，
在Rt△EFH中，EH=DC=4，FH=2，
∴EF=

EH2+FH2

=

42+22

=2

5

．
故答案为2

5

．