如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC⊥BD，AP=AB=2，BC=22，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BDE；（Ⅱ）求平面BD

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC⊥BD，AP=AB=2，BC=2

2

，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE与平面ABP夹角的大小．

答案

解法一：（Ⅰ）如图以A为坐标原点，AB，AP
所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP=AB=2，BC=2

2

，AC⊥BD，
在Rt△ABC中，由射影定理得AD=

2 3

3

，则AD：DC=1：2
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C(2，2

2

，0)，D(

2

3

，

2 2

3

，0)，P（0，0，2）
又E是PC的中点，∴E(1，

2

，1)
∴

PC

=(2，2

2

，-2)，

BE

=(-1，

2

，1)，

DE

=(

1

3

，

2

3

，1)，
∴

PC

•

BE

=-2+4-2=0，

PC

•

DE

=

2

3

+

4

3

-2=0
∴

PC

⊥

BE

，

PC

⊥

DE

，
又DE∩BE=E，∴PC⊥平面BDE（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BDE的法向量

n

1=

PC

=(2，2

2

，-2)，
平面BAP的法向量

n

2=

BC

=(0，2

2

，0)，∴

n

1•

n

2=8
设平面BDE与平面ABP的夹角为θ，
则cosθ=|cos(

n

1，

n

2)|=

| n 1• n 2|

| n 1|| n 2|

=

8

4×2 2

=

2

2

，∴θ=45°，
∴平面BDE与平面ABP的夹角为45°（12分）
解法二：

（Ⅰ）∵在Rt△PAB中，AP=AB=2，
∴PB=

AP2+AB2

=2

2

=BC
又E是PC的中点，∴BE⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC
∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A
∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，
∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE（6分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，
又由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE，
∴直线PC与BC的夹角即为平面BDE与平面BAP的夹角，
在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，∠PCB=45°
所以平面BDE与平面BAP的夹角为45°（12分）