设f(x)=ln(x2+1),g(x)=x2-.(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,并证明对[-1,1]上的任意x1,x2,x3,都有F(x1)+F
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设f(x)=ln(x2+1),g(x)=x2-.(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,并证明对[-1,1]上的任意x1,x2,x3,都有F(x1)+F
题型:不详
难度:
来源:
设f(x)=ln(x
2
+1),g(x)=
x
2
-
.
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,并证明对[-1,1]上的任意x
1
,x
2
,x
3
,都有F(x
1
)+F(x
2
)>F(x
3
);
(2)将y=f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位,同时将y=g(x)的图像向上平移b(b>0)个单位,使它们恰有四个交点,求
的取值范围.
答案
(1)在(-∞,-1)和(0,1)上单调递增,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递减,证明见解析(2)
<
<1+ln 2
解析
(1)F(x)=ln(x
2
+1)-
x
2
-
,
F′(x)=
.
F′(x),F(x)的值随x值的变化如下表:
x
(-∞,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+∞)
F′(x)
+
-
+
-
F(x)
↗
↘
↗
↘
故F(x)在(-∞,-1)和(0,1)上单调递增,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递减,在[-1,1]上F(x)的最小值F(x)
min
=F(0)=
.
F(x)的最大值F(x)
max
=F(1)=F(-1)=ln 2.
因此F(x
1
)+F(x
2
)≥2F(x)
min
=1,
而F(x
3
)≤F(x)
max
=ln 2,
故F(x
1
)+F(x
2
)>F(x
3
).
(2)由题意可知y=ln(x
2
+1)-a与y=
x
2
-
+b的图像恰有四个交点.
由ln(x
2
+1)-a=
x
2
-
+b,
则a+b=ln(x
2
+1)-
x
2
+
.
令F(x)=ln(x
2
+1)-
x
2
+
,
由(1)可知F(x)
极小值
=F(0)=
,F(x)
极大值
=F(1)=ln 2.又F(4)=F(-4)<0<F(0),所以F(x)的大致图像如图所示,
图(1)
要使y=a+b与y=F(x)恰有四个交点,则
<a+b<ln 2.
由
得到(b,a)的可行域为如图(2)所示的阴影部分.
图(2)
又
可视为点P(-1,-1)与可行域内的点连线的斜率,
故
<
<1+ln 2.
举一反三
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=
且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)当
时,求曲线
在点
的切线方程;
(2)对一切
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当
时,试讨论
在
内的极值点的个数.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(
、
、
为常数),当
时取极大值,当
时取极小值,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若
在区间
上有极值点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.其中
.
(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数
的值;
(3)当
<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为
,若
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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