已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=
且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1) 当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)的单调递增区间为
,单调递减区间为
(2) a≥-1.
解析
(1)f′(x)=
-a=
(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,若f′(x)>0,则0<x<
,若f′(x)<0,则x>
,
故此时f(x)的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)令h(x)=ax-1(-1≤x≤0),
当a=0时,h(x)=-1,g(x)
max
=f(1)=0≤1,符合题意.
当a<0时,h(x)
max
=h(-1)=-a-1,f(x)
max
=f(1)=-a,
∴g(x)
max
=-a≤1,结合a<0,可得-1≤a<0.
当a>0时,h(x)
max
=h(0)=-1.
若
≥1,即0<a≤1,f(x)
max
=f(1)=-a≥-1,
∴g(x)
max
=-a≤1,结合0<a≤1,可得0<a≤1.
若
<1,即a>1,f(x)
max
=f
=ln
-1<-1,
∴g(x)
max
=-1≤1,符合题意.
综上所述,当g(x)≤1恒成立时,a≥-1.
举一反三
已知函数
.
(1)当
时,求曲线
在点
的切线方程;
(2)对一切
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当
时,试讨论
在
内的极值点的个数.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(
、
、
为常数),当
时取极大值,当
时取极小值,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若
在区间
上有极值点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.其中
.
(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数
的值;
(3)当
<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为
,若
,求
的取值范围.
题型:不详
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已知函数
的导数为
,则数列
的前
项和是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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