证明:
(1)∵PA=PB=,O为AB中点, ∴PO⊥AB ∵侧面PAB⊥底面ABCD,PO⊂侧面PAB,侧面PAB∩底面ABCD=AB, ∴PO⊥底面ABCD ∵CD⊂底面ABCD,∴PO⊥CD 在Rt△OBC中,OC2=OB2+BC2=2 在Rt△OAD中,OD2=OA2+AD2=10
在直角梯形ABCD中,CD2=AB2+(AD-BC)2=8 ∴OC2+CD2=OD2, ∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形, ∴OC⊥CD ∵OC,OP是平面POC内的两条相交直线 ∴CD⊥平面POC…(6分) (2)如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,2),D(-1,3,0),C(1,1,0) ∴=(0,0,2),=(-1,3,0),=(-1,-1,2),=(-2,2,0) 假设平面OPD的一个法向量为=(x,y,z),平面PCD的法向量为=(a,b,c),则 由 可得,令x=3,得y=1,z=0,则=(3,1,0), 由可得,令a=2,得b=2,c=, 即 =(2,2,) ∴cos<,>=== 故二面角O-PD-C的余弦值为.…(12分) |