如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN⑴ 如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD, 点
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如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN⑴ 如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD, 点
题型:不详
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如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN
⑴ 如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD, 点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=
∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
⑵ 如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.
答案
(1)MN=AM+CN,证明见解析(2)MN=CN-AM
解析
解:(1)MN=AM+CN。证明如下:
如图,∵BC∥AD,AB=BC=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形。
∴∠A+∠BCD=180°。
把△ABM绕点B顺时针旋转到△CBM′,
则AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°。∴点M′、C、M三点共线。
∵∠MBN=
∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=
∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△BMN和△BM′N中,∵ BM="BM′" ,∠MBN=∠M′BN, BN=BN,
∴△BMN≌△BM′N(SAS),∴MN=M′N。
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,∴MN=AM+CN。
(2)MN=CN-AM。
(1)先判定梯形ABCD是等腰梯形,根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°,再把△ABM绕点B顺时针旋转90°,点A与点C重合,点M到达点M′,根据旋转变换的性质,可得AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,然后证明M′、C、N三点共线,再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等,然后根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2)在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,然后证明∠C=∠BAM,再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′,BM=BM′,再证明∠MBN=∠M′BN,利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N,从而得到MN=CN-AM:
如图,作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°。
又∵∠BAD+∠BAM=180°,∴∠C=∠BAM。
在△ABM和△CBM′中,∵∠CBM′=∠ABM′ ,AB="BC" ,∠C=∠BAM,
∴△ABM≌△CBM′(ASA)。∴AM=CM′,BM=BM′。
∵∠MBN=
∠ABC,
∴∠M′BN=∠ABC-(∠ABN+∠CBM′)=∠ABC-(∠ABN+∠ABM)
=∠ABC-∠MBN=
∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△MBN和△M′BN中,∵BM="BM′" ,∠MBN=∠M′BN, BN=BN,
∴△MBN≌△M′BN(SAS)。∴MN=M′N。
∵M′N=CN-CM′=CN-AM,∴MN=CN-AM。
举一反三
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下列四个图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形,菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)将菱形OABC先向右平移4个单位,再向上平移2个单位,得到菱形
,请画出菱形
,并直接写出点B
1
的坐标;
(2)将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90º,得到菱形OA
2
B
2
C
2
,请画出菱形OA
2
B
2
C
2
,并求出点B旋转到B
2
的路径长.
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如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=
BD,EN=
CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是________________;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
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如图所示,将
向右平移3个单位长度后得
再将
绕点
旋转
后得到
则下列说法正确的是 ( )
A.
的坐标为
B.
C.
D.
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