证明:如图,台球P撞AB于M反弹打到Q,满足∠PMB=∠QMA,即对P的路线是作P关于BA的对称点P1,连接P1Q交 BA于 M点,则P→M→Q为球P的路线, 再作Q关于AD的对称点Q1连接PQ1交AD于N点,则Q→N→P为球Q的路线,
由对称性,知P1A=PA,Q1A=QA, ∠3=∠1=∠2=∠4, PM+MQ=P1M+MQ=P1Q, QN+NP=Q1N+NP=Q1P. 因此,要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等,即证明PM+MQ=QN+NP,也就是要证P1Q=Q1P, ∵∠P1AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°, ∠PAQ1=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°, ∴∠P1AQ=∠PAQ1, 在△P1AQ和△PAQ1中,, ∴△P1AQ≌△PAQ1(SAS), ∴P1Q=Q1P, 所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等. |