（1）观察发现如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小。做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就

题型：河北省模拟题难度：来源：

（1）观察发现
如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小。
做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小。
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 _______；
（2）实践运用
如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值；
（3）拓展延伸
如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD，保留作图痕迹，不必写出作法。

答案

解：（1）；（2）如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，
连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，
因为AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，
所以∠AEB=15°，
因为B关于CD的对称点E，
所以∠BOE=60°，
所以△OBE为等边三角形，
所以∠OEB=60°，
所以∠OEA=45°，
又因为OA=OE，
所以△OAE为等腰直角三角形，
所以AE=；（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可。