如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,有下面4个结论:①BD是∠ABC的角平分线;②△BCD是等腰三角形;③△ABC∽

如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,有下面4个结论:①BD是∠ABC的角平分线;②△BCD是等腰三角形;③△ABC∽

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,有下面4个结论:
①BD是∠ABC的角平分线;
②△BCD是等腰三角形;
③△ABC△BCD;
④△AMD≌△BCD.
(1)判断其中正确的结论是哪几个?
(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明.
答案
(1)连接BD,
①∵AB=AC,∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB=
180°-36°
2
=72°,
∵AB垂直平分线交AC于D,交AB于M,
∴根据中垂线的性质,中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.
有AD=BD,∴∠A=∠ABD=36°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°,
∴BD平分∠ABC,故正确;

②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形.故正确;

③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C,
∴△ABC△BCD,故正确;

④∵∠AMD=90°≠∠C=72°,
∴△AMD与△BCD不是全等三角形.故不正确.
∴①、②、③命题都正确.正确的结论是①、②、③;

(2)证明:BD平分∠ABC,
∵AB=AC,∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB=
180°-36°
2
=72°,
∵AB垂直平分线交AC于D,交AB于M,
∴根据中垂线的性质,中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.有AD=BD,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°,
∴BD平分∠ABC.
举一反三
如图,在Rt△ABC中,斜边AB的垂直平分线交边AB于点E,交边BC于点D,如果∠B=28°,那么∠CAD=______度.
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如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为(  )
A.6B.5C.4D.3

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如图,O是△ABC的外心,弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N,与BC边的延长线相交于点P,求证:OA2=ON•OP.
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如图,AB=AC,∠BAC=100°,若MP,NQ分别垂直平分AB,AC,则∠PAQ的度数为______.
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在△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线交直线BC于D,若∠BAD-∠DAC=22.5°,则∠B的度数是______.
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