把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕

把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕

题型:不详难度:来源:
把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点逆时针旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).
(1)在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论;
(2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
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?若存在,求出此时x的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)在上述旋转过程中,BH=CK,四边形CHGK的面积不变.
证明:连接CG,KH,
∵△ABC为等腰直角三角形,O(G)为其斜边中点,
∴CG=BG,CG⊥AB,
∴∠ACG=∠B=45°,
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,
∴∠BGH=∠CGK,
在△BGH与△CGK中,





∠B=∠KCG
BG=CG
∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK(ASA),
∴BH=CK,S△BGH=S△CGK
∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=
1
2
S△ABC=
1
2
×
1
2
×4×4=4,
即:S四边形CHGK的面积为4,是一个定值,在旋转过程中没有变化;

(2)∵AC=BC=4,Bk=x,
∴CH=4-x,CK=x.
由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK
得y=4-
1
2
x(4-x),
∴y=
1
2
x2-2x+4.
由0°<α<90°,得到BH最大=BC=4,
∴0<x<4;

(3)存在.
根据题意,得
1
2
x2-2x+4=
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×8,
解这个方程,得x1=1,x2=3,
即:当x=1或x=3时,△GHK的面积均等于△ABC的面积的
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举一反三
请你设计一幅平面图案满足以下几个要求:①由线段或圆组成;②是轴对称图形;③是中心对称图形.
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如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB′C′,且C′为BC的中点.若D为B′C′与AB的交点,则C′D:DB′=______.
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如图,把△ABC绕点C顺时针旋转25°,得到△A′B′C′,A′B′分别交AC、AB于点D、E,若∠A′DC=80°,则∠A=______°.
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将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP′重合,若BP=4,则PP′=______.
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四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心______点,按顺时针方向旋转______度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
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