延长FD到M使MD=DF,连结AM、EM、CD,如图, ∵AC=BC,点D为AB中点.∠GDH=90°, ∴CD=BD,∠B=∠DCA=45°,CD⊥AB, ∵∠GDF=90°,即∠CDE+∠CDF=90°, 而∠CDF+∠BDF=90°, ∴∠CDE=∠BDF, 在△CDE和△BDF中, , ∴△CDE≌△BDF(AAS), ∴CE=BF,DE=DF, ∴AE+BF=AE+CE=AC,故①正确; ∵∠EDF=90°, ∴△DEF始终为等腰直角三角形,故④正确; ∵△CDE≌△BDF, ∴S△CDE=S△BDF, ∴S四边形CEDF=S△CDB=S△ABC,故③正确; 在△DAM和△DBF中, , ∴△DAM≌△DBF(SAS), ∴AM=BF,∠DAM=∠B=45°, ∴∠EAM=45°+45°=90°, ∴AE2+AM2=EM2, ∴AE2+BF2=EM2, ∵ED垂直平分MF, ∴EM=EF, ∴AE2+BF2=EF2,故②正确. 故选:A.
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