如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.(1)求∠PCQ的度数;(2)当AB=4,AP

如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.(1)求∠PCQ的度数;(2)当AB=4,AP

题型:不详难度:来源:
如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.
(1)求∠PCQ的度数;
(2)当AB=4,AP:PC=1:3时,求PQ的大小;
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A、C重合),请写出一个反映PA2,PC2,PB2之间关系的等式,并加以证明.
答案
(1)由题意知,△ABP≌△CQB,
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°,∠ABP=∠CPQ,AP=CQ,PB=BQ,
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°,∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°,
∴△BPQ是等腰直角三角形,△PCQ是直角三角形.

(2)当AB=4,AP:PC=1:3时,有AC=4


2
,AP=


2
,PC=3


2

∴PQ=


PC2+CQ2
=2


5


(3)存在2PB2=PA2+PC2
由于△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=


2
PB,
∵AP=CQ,
∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2
故有2PB2=PA2+PC2
举一反三
如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均落在格点上.
(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后,得到△A1B1C1,在网格中画出△A1B1C1
(2)连接AB1、B1C,请直接写出四边形ABCB1的周长.
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如图,三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种变换后得到的图形.
①分别写出点A与点A′,点B与点B′,点C与点C′的坐标,从中你发现了什么特征?请你用文字语言表达出来.
②根据你发现的特征,解答下列问题:若三角形ABC内有一点P(2a+5,1-3b)经过变换后,在三角形A′B′C′内的对称坐标为P"(b-3,3+a),求关于x的方程
bx+3
2
-
2+ax
3
=1
的解.
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有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),连接BD、MF,若此时他测得∠ADB=30°.

(1)试探究线段BD与线段MF的关系,并简要说明理由;
(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去,与小亮同学继续探究.他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1,AD1交FM于点K(如图2),设旋转角为β(0°<β<90°),当△AFK为等腰三角形时,请直接写出旋转角β的度数.
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如下图,在平面直角坐标系中,A点坐标为(-4,3),将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′,则点A′的坐标是(  )
A.(-4,3)B.(-3,4)C.(3,4)D.(4,-3)

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如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF,则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是______cm2
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