(1)∵△ABC和△ACD为等边三角形, ∴∠B=∠ACD=60°,∠BAC=60°,AB=AC, 又∵∠EAF=60°,且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC,∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC, ∴∠BAE=∠CAF, 又∵在△ABE和△ACF中, , ∴△ABE≌△ACF(ASA), ∴BE=CF; (2)∵△ABE≌△ACF, ∴S△ACF=S△ABE,AE=AF, 又∵等边△ABC的边长为3,且S四边形AECF=S△AEC+S△ACF,S△ABC=S△AEC+S△ABE, ∴S四边形AECF=S△ABC=×3×=, ∴S△ECF=S四边形AECF-S△AEF=S△ABC-S△AEF=-S△AEF, 又∵∠EAF=60°,AE=AF, ∴△AEF为等边三角形, ∴三角尺运动过程中,当AE⊥BC时,S△AEF最小,S△ECF最大, ∴当AE⊥BC时,AE=,S△AEF=××=, 则S△ECF=-S△AEF═-=; (3)将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP,其中AM=AP,AB=AD,BM=PD, ∵△ADP≌△ABM, ∴∠PAD=∠BAM, 又∵∠EAF=60°,∠CAD=60°,∠EAC=∠EAF-∠FAC=60°-∠FAC, ∴∠DAF=∠CAD-∠FAC=60°-∠FAC, ∴∠EAC=∠DAF, ∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°, 又∵在△AMN和△APN中, , ∴△AMN≌△APN(SAS), ∴MN=PN, 又∵在△PND中,MN=PN,BM=PD, ∴△PND即为以MN,BM,ND为边的三角形, 易知∠PDN=60°, 所以△PND为直角三角形的情况分为两种: ①∠PND=90°,如图4所示, ∵Rt△PND中,∠PDN=60°且BD=3, ∴ND=PD,PN=PD, 则BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND,即3=PD+PD+PD, 则BM=PD=3-3;
②∠NPD=90°,如图5所示, ∵Rt△PND中,∠PDN=60°且BD=3, ∴ND=2PD,PN=PD, ∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND,即3=PD+2PD+PD, 则BM=PD=. |