如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上，OA边与直线11重合.然后将三角形纸片绕着顶点 A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O

题型：同步题难度：来源：

如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l₁上，OA边与直线1₁重合.然后将三角形纸片绕着顶点 A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁ 处，点 B运动到了点B₁处；小慧又将三角形纸片 AO₁B₁ 绕B, 点按顺时针方向旋转120°点A运动到了点A₁处. 点O₁运动到了点O₂ 处(即顶点O经过上述两次旋转到达O₂ 处).     
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO₁和弧O₁O₂顶点O所经过的路程是这两圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l₁围成的图形面积等于扇形AOO₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁ O₁O₂的面积之和.    
小意进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线1₂ 上，OA边与直线l₂ 重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°.此时点O运动到了点O₁处(即点B处)，点C运动到了点C₁ 处，点B运动到了点B₁处；小意又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点按顺时针方向旋转90°……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转.求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线12 围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5 次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是  请你解答上述两个问题

答案

解：问题①：如图. 正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧.即孤OO_l、弧O₁O₂ 以及弧O₂O₃
∴顶点O运动过程中经过的路程为    
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线1₂ 围成图形的面积为= 1+π.    
正方形OABC经过5次旋转.项点O经过的路程为    
问题②：∵方形 OABC经过4次旋转，.
顶点O经过的路程为
∴ 正方形纸片OABC经过了81次旋转.