如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线11重合.然后将三角形纸片绕着顶点 A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O

如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线11重合.然后将三角形纸片绕着顶点 A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O

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如图①.小意同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线11重合.然后将三角形纸片绕着顶点 A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1 处,点 B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕B, 点按顺时针方向旋转120°点A运动到了点A1处. 点O1运动到了点O2 处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2 处).     
小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2顶点O所经过的路程是这两圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1 O1O2的面积之和.    
小意进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线12 上,OA边与直线l2 重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°.此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1 处,点B运动到了点B1处;小意又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°……,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:
问题①:若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转.求顶点0经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线12 围成图形的面积;若正方形OABC按上述方法经过5 次旋转,求顶点O经过的路程;
问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是  请你解答上述两个问题



答案

解:问题①:如图. 正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段弧.即孤OOl、弧O1O2 以及弧O2O3
∴顶点O运动过程中经过的路程为    
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线12 围成图形的面积为= 1+π.    
正方形OABC经过5次旋转.项点O经过的路程为    
问题②:∵方形 OABC经过4次旋转,.
顶点O经过的路程为
∴ 正方形纸片OABC经过了81次旋转.


举一反三
在直角坐标平面内的机器人接受指令“[a,A](a≥0,0°<A<180°)后的行动结果为:在原地顺时针旋转A后,再向正前方沿直线行走a.若机器人的位置在原点,正前方为y轴的负半轴,则它完成一次指令[2,60°]后位置的坐标为    [     ]
A.(﹣1,)  
B.(﹣1,﹣)    
C.(﹣,﹣1)    
D.(﹣,1)
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如图,△A"B"O是由△OAB绕顶点O旋转而得到的.
(1)不论旋转多大角度,△OA"B"和△OAB是否总全等?
(2)适当增加一个条件,使得不论旋转多大角度,总有AA"=BB".
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如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B的距离,为什么?线段DE可以看作哪条线段平移或旋转得到?
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将一直角三角板的直角顶点与直角三角形ABC的顶点A重合,如图所示,将三角板紧贴纸面绕点A旋转,下列结论始终成立的是
[     ]
A.∠BAE>∠DAC
B.∠BAE+DAC=180°
C.∠BAE﹣∠DAC=45°
D.∠BAD≠∠EAC
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一个长方形绕着它的一条边旋转一周,所形成的几何体是(    ).
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