如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)求证:△COD是等边三角形;

如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)求证:△COD是等边三角形;

题型:浙江省同步题难度:来源:
如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
答案
(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形.
(2)答:当α=150°时,△AOD是直角三角形.
理由是:∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,
即△AOD是直角三角形.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,
∴190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=180°﹣(190°﹣α+α﹣60°)=50°,
∴α﹣60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,
∠AOD==120°﹣
∴190°﹣α=120°﹣
解得α=140°.
综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
举一反三
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。    
(1) 若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;    
(2) 在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小α(用含的代数式表示),并加以证明;    
(3) 对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出α的范围。
题型:北京中考真题难度:| 查看答案
在平面直角坐标系中,将点A(4,0)绕原点O顺时针旋转30°到对应点A′,则点A′的坐标是(    ).
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将 △ABO绕点O按逆时针方向旋转 90°,得到△A′B′O,则点A的坐标为
A. ( -3,1)        
B. (3, -1)
C. (3 ,2)
D. ( -3,2)
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
如图,在8×6的网格图中,每个小正方形的边长均为 1,以这些小正方形的顶点,为顶点的三角形称为格点三角形,点 A和点 B均为小正方形的顶点。请按要求画图:
(1)请在图中画出以AB为边且面积为 3 的一个格点三角形(记为 △ABC);
(2)将你所画的三角形绕着点 A沿逆时针方向旋转 90°,画出旋转后的图形(记为△AB"C")
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD 中,AB=1 ,AD=2 ,将AD 绕点A 顺时针旋转,当点D 落在BC 上点D时,则AD"=________,∠A D"B=_______.
题型:福建省中考真题难度:| 查看答案
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