某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．证明：参加过这些观测活动的学生数不少于21名．
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某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．
证明：参加过这些观测活动的学生数不少于21名． |
答案
证明：设参加观测活动次数最多的学生A参加了a次观测，共有x名学生参加过这些观测活动．
由于有A参加的每次观测活动中，除了A，其他学生各不相同（这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测），
故x≥4a+1．①
另一方面，学生A参加观测的次数不小于每名学生平均观测次数．
即a≥．②
综合①、②，得x≥+1，x2-x-400≥0．即x（x-1）≥400．
因x（x-1）是相邻两个自然数的乘积，经试算可得x≥21．
即参加过这些观测活动的学生数不少于21人． |
举一反三
| 将正整数1，2，…，10分成A、B两组，其中A组：a1，a2，…，am；B组：b1，b2，…，bn．现从A、B两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘．则所有不同的两个数乘积的和的最大值为______． |
| 已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值． |
| 数的集合X由1，2，3，…，600组成，将集合X中是3的倍数，或4的倍数，或既是3的倍数又是4的倍数的所有数，组成一个新的集合y，则集合y中所有数的和为 ______． |
| 如果三位数满足a＜b＜c或a＞b＞c，则称这个三位数为“严格排序三位数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是______． |
| 某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有 ______人． |
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