将正整数1,2,…,10分成A、B两组,其中A组:a1,a2,…,am;B组:b1,b2,…,bn.现从A、B两组中各取出一个数,把取出的两个数相乘.则所有不同

将正整数1,2,…,10分成A、B两组,其中A组:a1,a2,…,am;B组:b1,b2,…,bn.现从A、B两组中各取出一个数,把取出的两个数相乘.则所有不同

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将正整数1,2,…,10分成A、B两组,其中A组:a1,a2,…,am;B组:b1,b2,…,bn.现从A、B两组中各取出一个数,把取出的两个数相乘.则所有不同的两个数乘积的和的最大值为______.
答案
由条件知,所有不同的两个数乘积的和为:S=(a1+a2+…am)(b1+b2+…bn),
记x=a1+a2+…am,y=b1+b2+…bn
则x+y=1+2+…+10=55,
∵x+y的最大值=55,最小值=1,
S=xy=
1
4
[(x+y)2-(x-y)2]≤
1
4
(552-12)=756.
当且仅当|x-y|=1时,上式等号成立.
令ai=i(i=1,2,…7),b1=8,b2=9,b3=10,则x=28,y=27,
∴等号能取到.
故所有不同的两个数乘积的和的最大值为756.
故答案为:756.
举一反三
已知a、b、c为实数.证明:(a+b+c)2、(a+b-c)2、(b+c-a)2、(c+a-b)2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值,也至少有一个不大于a2+b2+c2的值.
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数的集合X由1,2,3,…,600组成,将集合X中是3的倍数,或4的倍数,或既是3的倍数又是4的倍数的所有数,组成一个新的集合y,则集合y中所有数的和为 ______.
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如果三位数
.
abc
满足a<b<c或a>b>c,则称这个三位数为“严格排序三位数”.那么,从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是______.
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某校参加数学竞赛有120名男生,80名女生,参加英语竞赛有120名女生,80名男生,已知该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生都参加了,那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有 ______人.
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1~8八个数排成一排,要求相邻两个数字互质,可以有 ______种排法.
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