将正整数1，2，…，10分成A、B两组，其中A组：a1，a2，…，am；B组：b1，b2，…，bn．现从A、B两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘．则所有不同
题型：不详难度：来源：
| 将正整数1，2，…，10分成A、B两组，其中A组：a1，a2，…，am；B组：b1，b2，…，bn．现从A、B两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘．则所有不同的两个数乘积的和的最大值为______． |
答案
由条件知，所有不同的两个数乘积的和为：S=（a1+a2+…am）（b1+b2+…bn），
记x=a1+a2+…am，y=b1+b2+…bn，
则x+y=1+2+…+10=55，
∵x+y的最大值=55，最小值=1，
S=xy=[（x+y）2-（x-y）2]≤（552-12）=756．
当且仅当|x-y|=1时，上式等号成立．
令ai=i（i=1，2，…7），b1=8，b2=9，b3=10，则x=28，y=27，
∴等号能取到．
故所有不同的两个数乘积的和的最大值为756．
故答案为：756． |
举一反三
| 已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值． |
| 数的集合X由1，2，3，…，600组成，将集合X中是3的倍数，或4的倍数，或既是3的倍数又是4的倍数的所有数，组成一个新的集合y，则集合y中所有数的和为 ______． |
| 如果三位数满足a＜b＜c或a＞b＞c，则称这个三位数为“严格排序三位数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是______． |
| 某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有 ______人． |
| 1～8八个数排成一排，要求相邻两个数字互质，可以有 ______种排法． |
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