如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”.(1)已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,.求证:△ABC是“匀称三角形”;(

如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”.(1)已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,.求证:△ABC是“匀称三角形”;(

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如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”.
(1)已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,
求证:△ABC是“匀称三角形”;
(2)在平面直角坐标系xoy中,如果三角形的一边在x轴上,且这边的中线恰好等于这边的长,我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2,现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点,A(3,0),B(4,0),若C、D(C、D两点与O不重合)是x轴上的格点,且点C在点A的左侧.在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个?其中是否存在横坐标为整数的点P,如果存在请求出这个点P的坐标,如果不存在请说明理由.

答案
(1)证明见解析;(2)4个,存在,(3,).
解析

试题分析:(1)应用勾股定理求出AC和它的中线长,根据匀称三角形的定义即可证得.
(2)根据匀称三角形的定义求解即可.
试题解析:(1) 如图1,作AC边的中线BD交AC于点D,
∵∠C=90°,BC= 2,AB = 2,∴AC =  = 4.
∴AD=CD=2,BD = .∴AC = BD.
∴△ABC是“匀称三角形”.

(2)①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有4个 .
②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中,存在横坐标为整数的点P.
如图,当C点坐标为(2,0),D点坐标为(3,0)与A重合时,△PAC与△PBD是水平匀称三角形.
∵A(3,0),C(2,0),B(4,0),D(3,0),∴AC=1,BD=1.
设PM、PN分别为CA、DB上的中线,
∴AM=,AN=, ∴AM=AN=
∴点A为MN的中点.
∵△PAC与△PBD是“水平匀称三角形”,
∴PM=AC=1,PN=BD=1.∴PM=PN=1.
∴PA⊥MN,即PA与x轴垂直.
∵A(3,0),∴P点横坐标为整数3.
在Rt△PMA中,PM=1,AM=,∴PA=
∴P(3,).
∴当C点坐标为(2,0),D点坐标为(3,0)与A重合时,△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数.

举一反三
已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后,再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后,再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内,现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1,第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。依此运动规律,则经过第11次运动后,动点P所在位置P11的坐标是______________
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如图,在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时,点D的坐标为:       ;在运动过程中,点A的纵坐标的最大值是      ;保持上述运动过程,经过的正六边形的顶点是      .

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在直角坐标系中,点M(3,-5)到x轴的距离是_____.到原点的距离是_____.
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如图,在平面直角坐标系中,已知点P0坐标为(1,0),将线段OP0绕点O顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;将线段OP1绕点O顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2,…,这样依次得到线段OP3,OP4,…,OPn.则点P2的坐标为             
当n=4m+1(m为自然数)时,点Pn的坐标为             

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已知点A(2a+3b,-2)和B(0,3a+2b)关于原点对称,则a+b=( )
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