试题分析:(1)①根据等边三角形的性质结合点A、B、C的坐标即可求得结果; ②由A(0,2),B( ,2)可得 ,在 中,根据∠AOB的正切函数值即可得到 ,同理 ,即可得到结果; (2)分三种情况:①当PQ∥AB时,②当P点与C点重合时,③当BP⊥CP时,根据等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、梯形的性质分析即可. (1)①AC的长为2,AB的长为 ; ②△OBC是等边三角形. 理由如下: ∵A(0,2),B( ,2) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153816-18020.png) 在 中, ∴ ,同理![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153816-55276.png) ∴△OBC是等边三角形; (2)分三种情况讨论: ①当PQ∥AB时(如图1): 点Q在CP上,作 于D,则四边形 是矩形 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153817-22201.png) ∵△BPQ是等边三角形, ∴BD平分PQ,平分![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153818-47267.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153818-35106.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153818-60802.png) ∴点P的横坐标是 ;
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153819-82565.png) ②如图2,当P点与C点重合时, ∵在 中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153819-18377.png) ∴ ,∵![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153820-82304.png) ∴ ,∴BQ∥AC,又CQ与AB不平行 ∴四边形 ABQP是梯形. ∴点P的横坐标是0; ③如图3,当BP⊥CP时, ∵CP∥AB ∴BP⊥AB ∵在 中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153821-86697.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153821-94300.png) ∵△BPQ是等边三角形 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153821-88543.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153821-71884.png) ∴AP∥BQ ∴四边形 ABQP是梯形 ∴点P的横坐标为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191119/20191119153815-32785.png) 综上所述,四边形ABQP为梯形时,点P的横坐标是 或0或 . 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |