设集合Sn={1,2,3,,n),若X是Sn的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集
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设集合Sn={1,2,3,,n),若X是Sn的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
设集合S
n
={1,2,3,,n),若X是S
n
的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为S
n
的奇(偶)子集.
(I)写出S
4
的所有奇子集;
(Ⅱ)求证:S
n
的奇子集与偶子集个数相等;
(Ⅲ)求证:当n≥3时,S
n
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
答案
(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析
解析
试题分析:(I)根据奇子集的定义可直接得出,注意应按规律一一列出以防重写或漏写。(Ⅱ)取S
n
的任意一个奇子集
可能含有1也可能不含1,当奇子集
含有1时,令
,当奇子集
不含1时,令
,则
为
的偶子集,且
与
相对应,反之也成立。因为
与
相对应即S
n
的奇子集与偶子集个数相等。(Ⅲ)由(Ⅱ)知S
n
的奇子集与偶子集个数相等,且S
n
中每一个元素在奇子集与偶子集中出现的次数是相同的,所以S
n
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
试题解析:(I)
(Ⅱ)对于S
n
的每个奇子集
,
当
时,取
;当
时,取
。
则
为
的偶子集。
反之,若
为
的偶子集,
当
时,取
;当
时,取
。
则
为
的奇子集。
的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系,所以
的奇子集和偶子集的个数相等。
(Ⅲ)对于任意
,
当
时,含
的
的子集共有
个。由(Ⅱ)可知,对每个数
,在奇子集与偶子集中,
所占的个数是相等的;
当
时,将(Ⅱ)中的1换成3即可。
可知
在奇子集与偶子集中占的个数是相等。
综合(1)(2),每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。
所以S
n
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
举一反三
已知函数
是
上的增函数,
是其图象上的两点,那么
的解集的补集是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知集合
,
,则满足条件
的集合
的个数为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
给出下列结论:①函数
的定义域为
;②
;③函数
的图像关于点
对称;④若角的集合
,
,则
;⑤函数
的最小正周期是
,对称轴方程为直线
.其中正确结论的序号是
_______
.
题型:填空题
难度:一般
|
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设集合
、
,若
,则实数
=___________.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
设
:
,
:
,则
是
的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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