(本题满分12分)已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三个连续的自然数。如果a,b,c能够作为一个三角形的三边长,且该三角形的最大角是最小角的2倍,求所

(本题满分12分)已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三个连续的自然数。如果a,b,c能够作为一个三角形的三边长,且该三角形的最大角是最小角的2倍,求所

题型:解答题难度:一般来源:不详
(本题满分12分)
已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三个连续的自然数。如果a,b,c能够作为一个三角形的三边长,且该三角形的最大角是最小角的2倍,求所有满足条件的集合A。
答案
A={4,5,6}  
解析
解法一:依题意,不妨设,对应的三个内角是
由正弦定理,       …………………………4分
所以              …………………………6分
由余弦定理, ……………8分
 化简,得:             
所以,不合题意,舍去。
,三角形的三边长为4,5,6.            …………………………10分
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故:A={4,5,6}                          …………………………12分
解法二:先考虑三角形应满足的第一个性质:三边是连续的自然数
⑴三边长不可能是1,2,3,因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边;
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2,b=3,c=4
因为

此三角形中,A是最小角,C是最大角,但是所以2A≠C从而三边
长分别是a=2,b=3,c=4不符合条件。          …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3,b=4,c=5,此三角形是直角三角形,最大角是900,最小角不等于450,此三角形不满足条件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4,b=5,c=6,此时


因为,所以2A=C
故三边长分别是a=4,b=5,c=6满足条件。    …………………………8分
⑸当n>4时,三角形ABC的三边长分别是a=n,b=n+1,c=n+2时,三角形的最小角是A,最大角是C,


随n的增大而减小,A随之增大,随n的增大而增大,C随之减小。由于n=4时有2A=C,所以n>4时不可能有2A=C。     …………………………11分
总上可知,只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件,即A={4,5,6} …………12分
举一反三
满足 ,且的集合的个数是(    )
1      2            3             4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若集合,则集合A中元素的个数是(  )
A.1个B.2个 C.3个 D.4个

题型:单选题难度:简单| 查看答案
设集合M=≤0},则下列关系式正确的是
A.0MB.MC.MD.M

题型:单选题难度:一般| 查看答案
下列几个关系中正确的是(   )
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知集合A= ,B= ,若BA,则m=             
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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