集合A={x|x2-2ax+4a2-3=0}，B={x|x2-x-2=0}，C={x|x2+2x-8=0}．（1）是否存在实数a使A∩B=A∪B？若存在，试求a

题型：解答题难度：一般来源：不详

集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，B={x|x²-x-2=0}，C={x|x²+2x-8=0}．
（1）是否存在实数a使A∩B=A∪B？若存在，试求a的值，若不存在，说明理由；
（2）若∅

⊂

≠

A∩B，A∩C=∅，求a的值．

答案

（1）假设存在存在实数a使A∩B=A∪B，即A=B．
由题意得B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，故-1，2是方程x²-2ax+4a²-3=0的两个根，
∴

-1+2=2a -1×2=4a2-3

∴a=

1

2

，
（2）解方程x²+2x-8=0，得C={-4，2}，∵∅

⊂

≠

A∩B，A∩C=∅，∴2∉A，-1∈A，
即x=-1是方程x²-2ax+4a²-3=0的根，且x=2不是此方程的根，
将x=-1代入，得（-1）²+2a+4a²-3=0，
∴a=-1或a=

1

2

．
检验知a=-1即为所求．