设集合S⊊N*,S≠∅,且满足(1)1∉S;(2)若x∈S,则1+12x-1∈S.(1)S能否为单元集,为什么?(2)求出只含两个元素的集合S.(3)满足题设条
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设集合S⊊N*,S≠∅,且满足(1)1∉S;(2)若x∈S,则1+12x-1∈S.(1)S能否为单元集,为什么?(2)求出只含两个元素的集合S.(3)满足题设条
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设集合S⊊N
*
,S≠∅,且满足(1)1∉S;(2)若x∈S,则
1+
12
x-1
∈S
.
(1)S能否为单元集,为什么?
(2)求出只含两个元素的集合S.
(3)满足题设条件的集合S共有几个?为什么?能否列举出来.
答案
(1)不能,因为1∉S,x∈S且
1+
12
x-1
∈S
,
而
1+
12
x-1
≠ 1
,
如果S是单元素集,必须
1+
12
x-1
=x
,
解得
x=1±2
3
,即S中至少存在两个不同的元素,
所以S不是为单元集.
(2)因为
1+
12
x-1
∈S
,且x≠1,
用
1+
12
x-1
替换X,
即
1+
12
(1+
12
x-1
)-1
=x
而x≠1,
则
1+
12
x-1
=x
,所以(x-1)
2
=12,
则
x=1±2
3
,而x∈N,所以x不存在,
即只含两个元素的集合S不存在.
(3)因为
1+
12
x-1
∈S
,且x≠1,
用
1+
12
x-1
替换X,
即
1+
12
(1+
12
x-1
)-1
=x
,
所以S最多含有3个元素,
很明显x∈N,且
1+
12
x-1
∈N
所以x-1必然是12的约数,
则x-1可以为1,2,3,4,6,12,
所以满足条件的S共有6个.
举一反三
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题型:填空题
难度:一般
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B.16个
C.28 个
D.31个
题型:单选题
难度:简单
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满足M⊆{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
,a
6
,a
7
},且M∩{a
1
,a
2
,a
3
}={a
1
,a
2
}的集合M的个数是______.
题型:填空题
难度:简单
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题型:填空题
难度:简单
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题型:填空题
难度:简单
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