已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x,a∈R}(1)求A;(2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*,均

已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x,a∈R}(1)求A;(2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*,均

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x,a∈R}
(1)求A;
(2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*,均有Sn∈A.若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
答案
(1)由x2+a≤|a+1|x,a∈R,





a+1≥0
x2-(a+1)x+a≤0





a+1<0
x2+(a+1)x+a≤0

∴a>1时,1≤x≤a;-1≤a≤1时,a≤x≤1;a<-1时,-1≤x≤-a
∴a>1时,A={x|1≤x≤a};-1≤a≤1时,A={x|a≤x≤1};a<-1时,A={x|-1≤x≤-a}
(2)①当a≥1时,A={x|1≤x≤a},而当n=2时,S2=a+a2,若S2∈A,则1≤a+a2≤a,得





a2+a-1≥1
a2≤0
a≥1
,此不等式组的解集为空集,故a≥1时,不存在满足条件的实数a;
②当0<a<1时,A={x|a≤x≤1};而Sn=a+a2+…+an=
a
1-a
(1-an)
是关于n的增函数,且
lim
x→∞
Sn=
a
1-a
,故Sn∈[a,
a
1-a
)
,故对任意的n∈N*,要使Sn∈A,只需a满足





0<a<1
a
1-a
≤1
,解得0<a≤
1
2

③当a<-1时,A={x|-1≤x≤-a},显然S1=a∉A,故不存在满足条件的实数a;
④当a=-1时,A={x|-1≤x≤1},S2n-1=-1,S2n=1,适合;
⑤当-1<a<0时,A={x|a≤x≤1},S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n(1+a)
∵a2n>0,1+a>0,∴a2n(1+a)>0,∴S2n+1>S2n-1S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1(1+a)
∵a2n+1=a2n•a<0,1+a>0,∴a2n+1(1+a)<0,∴S2n+2<S2n
又∵S2n+1-S2n=
a(1-a2n+1)
1-a
-
a(1-a2n)
1-a
=
a
1-a
(a2n-a2n+1)=
a2n+1(1-a)
1-a
=a2n+1<0
∴S2n+1<S2n
而S2=S1+a2>S1
故S1<S3<S5<S7<…<S2n+1<…<S2n<S2n-2<…<S4<S2
故对任意的n∈N*,要使Sn∈A,只需





S2∈A
S1∈A
,即





-1<a<0
a+a2≤1
a≥a
,解得-1<a<0
综上所述,a的取值范围是{a|0<a≤
1
2
或-1≤a<0}
举一反三
集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x≥0,f(x)∈(1,4],且f(x)在[0,+∞)上是减函数.
(1)判断函数f1(x)=2-


x
及f2(x)=1+3•(
1
2
)x
(x≥0)是否在集合A中?试说明理由;
(2)对于(1)中你认为是集合A中的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立.求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设集合A={n|n∈N,1≤n≤500},在A上定义关于n的函数f(n)=log(n+1)(n+2),则集合M={k|k=f(1)f(2)…f(n),k∈N}用列举法可表示为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体:(1)当x∈[0,+∞)时,函数值为非负实数;(2)对于任意的s、t,都有f(s)+f(t)≤f(s+t);在三个函数f1(x)=x,f2(x)=2x-1,f3(x)=ln(x+1)中,属于集合M的是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设集合A={(x,y)|y=2x},B={(x,y)|y=a,a∈R},则集合A∩B的子集个数最多有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),k(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(1)已知集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求k(P)和k(Q);
(2)若集合A={2,4,8,…,2n},证明:k(A)=
n(n-1)
2

(3)求k(A)的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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