已知集合M是满足下面性质的函数f(x)的全体:在定义域内,方程f(x+1)=f(x)+f(1)有实数解.(1)函数f(x)=1x是否属于集合M?说明理由;(2)
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已知集合M是满足下面性质的函数f(x)的全体:在定义域内,方程f(x+1)=f(x)+f(1)有实数解.(1)函数f(x)=1x是否属于集合M?说明理由;(2)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知集合M是满足下面性质的函数f(x)的全体:在定义域内,方程f(x+1)=f(x)+f(1)有实数解.
(1)函数
f(x)=
1
x
是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数
f(x)=lg
t
x
2
+1
∈M
,求t的取值范围.
答案
(1)在定义域内,
∵
f(x)=
1
x
,f(x+1)=f(x)+f(1)
∴
1
x+1
=
1
x
+1⇒
x
2
+x+1=0
,
∵方程x
2
+x+1=0无实数解,
∴
f(x)=
1
x
∉M.(6分)
(2)∵函数
f(x)=lg
t
x
2
+1
∈M
,
∴lg
t
(x+1
)
2
+1
=lg
t
x
2
+1
+lg
t
2
,
∴(t-2)x
2
+2tx+2(t-1)=0有实数解,
t=2时,
x=-
1
2
;
t≠2时,由△=4t
2
-4(t-2)×2(t-1)≥0,
得
t
2
-6t+4≤0⇒t∈[3-
5
,2)∪(2,3+
5
]
.
∴
t∈[3-
5
,3+
5
]
.(12分)
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