已知函数f(x)=x-1x+2(1)判断函数f(x)在区间(-2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明;(2)函数g(x)=log2f(x),x∈[-5,-
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已知函数f(x)=x-1x+2(1)判断函数f(x)在区间(-2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明;(2)函数g(x)=log2f(x),x∈[-5,-
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x-1
x+2
(1)判断函数f(x)在区间(-2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明;
(2)函数g(x)=log
2
f(x),x∈[-5,-3]的值域为A,且C
R
B={x|x>2a-1或x<a}(a为常数),若A∩B=B,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.
f(x)=
x-1
x+2
=1-
3
x+2
,
任取x
1
,x
2
∈(-2,+∞),且x
1
<x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(1-
3
x
1
+2
)-(1-
3
x
2
+2
)=
3
x
2
+2
-
3
x
1
+2
=
3(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+2)•(
x
2
+2)
,
∵x
1
<x
2
,∴x
1
-x
2
<0,又x
1
,x
2
∈(-2,+∞),∴x
1
+2>0,x
2
+2>0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.
(2)∵f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.
∴f(x)在区间[-5,-3]上为增函数.
∵g(x)=log
2
f(x),∴g(x)在区间[-5,-3]上为增函数,
∴g(-5)≤g(x)≤g(-3),即1≤g(x)≤2,∴A=[1,2],
∵C
R
B={x|x>2a-1或x<a},∴B={x|a≤x≤2a-1},
①若B=ϕ,则a>2a-1,解得a<1;
②若B≠ϕ时,
2a-1≥a
a≥1
2a-1≤2
⇒1≤a≤
3
2
,
综上所述:
a∈(-∞,
3
2
]
.
举一反三
已知全集U=R.P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤
1
2
x-1
≤
3
2
}
(1)若a=3,求(C
U
P)∩Q;
(2)若P⊆Q,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
集合A={0,1,2},B={x|-1<x<2},则A∩B=( )
A.{0}
B.{1}
C.{0,1}
D.{0,1,2}
题型:单选题
难度:简单
|
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已知集合A={x|x≤1},B={x|x>a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.(1,∞)
D.[1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知集合
A={y|y=
x
|x|
},B={x|1-kx=0}
,且A∩B=B,则k的值为( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.1或-1或0
题型:单选题
难度:一般
|
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设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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