已知命题P:函数f(x)=13(1-x)且|f(a)|<2,命题Q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0}且A∩B=∅,(1)分
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已知命题P:函数f(x)=13(1-x)且|f(a)|<2,命题Q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0}且A∩B=∅,(1)分
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知命题P:函数
f(x)=
1
3
(1-x)
且|f(a)|<2,命题Q:集合A={x|x
2
+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0}且A∩B=∅,
(1)分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围;
(2)当实数a取何范围时,命题P、Q中有且仅有一个为真命题;
(3)设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S,
T={y|y=x+
m
x
,x∈R,x≠0,m>0}
,若∁
R
T⊆S,求m的取值范围.
答案
(1)由题意可得,由|f(a)|=|
1
3
(1-a)
|<2可得-6<a-1<6
解可得,-5<a<7
∴P:a∈(-5,7)
∵集合A={x|x
2
+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0}且A∩B=∅,
①若A=∅,则△=(a+2)(a+2)-4<0,即-4<a<0
②若A≠φ,则
△=(
a+2)
2
-4≥0
-(a+2)<0
,解可得,a≥0
综上可得,a<-4
∴Q:a∈(-4,+∞)
(2)当P为真,则
-5<a<7
a≤-4
,a∈(-5,-4];
当Q为真,则
a≤-5或a≥7
a>-4
,a∈[7,+∞)
所以a∈(-5,-4]∪[7,+∞)
(3)当P,Q都为真时,
-5<a<7
a>-4
即S=(-4,7)
T=(-∞,-2
m
]∪[2
m
,+∞)
∵
∁
R
T=(-2
m
,2
m
)⊆(-4,7)
∴
-2
m
≥-4
2
m
≤7
⇒m≤4
综上m∈(0,4]
举一反三
若集合A={x|x≥1},B={0,1,2},则下列结论正确的是( )
A.A∪B={x|x≥0}
B.A∩B={1,2}
C.(∁
R
A)∩B={0,1}
D.A∪(∁
R
B)={x|x≥1}
题型:单选题
难度:简单
|
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如果U={x∈N|x<6},A={1,2,3},B={2,4,5},那么(∁
U
A)∪(∁
U
B)=( )
A.{0,1,3,4,5}
B.{1,3,4,5}
C.{1,2,3,4,5}
D.{0}
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知全集U=R,
A={x|y=
2
x
-1
}
,则∁
U
A=( )
A.[0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0]
题型:单选题
难度:简单
|
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设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁
U
(A∩B)中元素个数为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知集合A={x|3≤x≤7},B={x|2<x<10},C={x|x<a}.
(1)求A∪B;
(2)求(C
R
A)∩B;
(3)若A⊆C,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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