已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；
④对任意x₁<0，x₂<0且x₁≠x₂，恒有f()<.
其中正确命题的所有序号是________．

答案

①③④

解析

作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；

显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；
由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x₁<0，x₂<0且x₁≠x₂，恒有f()<成立，故④正确．