某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管

题型：解答题难度：一般来源：不详

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．
(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

答案

（1）y＝＋，定义域
（2）32个

解析

(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，
y＝＋，
定义域.
(2)y＝f(x)＝k²，
y′＝k²，令y′＝0得x＝.
当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，
当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，
y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．