试题分析:(Ⅰ)函数f (x)的定义域为, 当时, 由, 由. 故的单调减区间为,单调增区间为. ……4分 (Ⅱ)在恒成立等价于:在恒成立, 令则,x∈, 于是在上为减函数,又在x=e处连续, 故在, 从而要使对任意的恒成立. 只要,故的最小值为. ……9分 (Ⅲ)一次函数在上递增,故函数在上的值域是. 当时,为单调递减函数,不合题意; 当时,, 要使在不单调,只要,此时 ① 故在上单调递减,在上单调递增. 注意到时, ∴ ∴对任意给定的,在区间上总存在两个不同的使得成立,当且仅当满足下列条件,即 令, 当时,函数单调递增; 当时,函数单调递减. 所以,当时有即对任意恒成立. 又由,解得……② ∴ 综合①②可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的,使成立. ……14分 点评:导数是研究函数性质的有力工具,研究单调性、极值、最值时不要忘记先求函数的定义域,而不等式恒成立问题,一般转化为函数的最值问题解决,分类讨论时要注意分类标准要不重不漏. |