21.设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+1m-1),其中m是实数,设M={m|m>1}(1)求证:当m∈M时,f(x)对所有实数x都有意义;反

21.设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+1m-1),其中m是实数,设M={m|m>1}(1)求证:当m∈M时,f(x)对所有实数x都有意义;反

题型:解答题难度:一般来源:不详
21.设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+
1
m-1
)
,其中m是实数,设M={m|m>1}
(1)求证:当m∈M时,f(x)对所有实数x都有意义;反之,如果f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M;
(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值;
(3)求证:对每一个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
答案
(1)函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+
1
m-1
)

令t=x2-4mx+4m2+m+
1
m-1

若m>1,则
1
m-1
>0
,∴t>0.
若t>0,则△=(4m)2-4(4m2+m+
1
m-1
)=-
4(m2-m+1)
m-1
<0

∵m2-m+1=(m-
1
2
2+
3
4
>0,
∴m>1,即m∈M.
(2)当m∈M时,t=x2-4mx+4m2+m+
1
m-1

=(x-2m)2+m+
1
m-1
≥m+
1
m-1
,(x=2m时取等号).
又函数y=log3t在定义域上是增函数,
∴x=2m时f(x)有最小值log3(m+
1
m-1
).
(3)∵m+
1
m-1
=m-1+
1
m-1
+1,
又m>1,∴m-1+
1
m-1
+1≥3,当且仅当m-1=
1
m-1
,即m=2时取等号.
又函数y=log3t在定义域上是增函数,
所以log3(m+
1
m-1
)≥1,
∴对每一个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
举一反三
若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=
f(
1
2
x)
x-1
的定义域是(  )
A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


-x2+2x+8
的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=x2+1的值域是(  )
A.[1,+∞)B.(0,1]C.(-∞,1]D.(0,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
2x+1
2x-1
,求函数的定义域,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
2
x-1
(x∈[2,6])
.,求f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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