已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任意 x都成立(1)求f(x)的解析式及定
题型:解答题难度:一般来源:山东模拟
已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任意 x都成立 (1)求f(x)的解析式及定义域 (2)写出f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数? |
答案
(1)由xf(x)=b+cf(x),b≠0,∴x≠c,得f(x)=, 由f(1-x)=-f(x+1),得=-,解得c=1, 由f(2)=-1,得-1=,解得b=-1, ∴f(x)==, ∵1-x≠0,∴x≠1,即f(x)的定义域为{x|x≠1}. (2)f(x)的单调区间为(-∞,1),(1,+∞)且都为增区间, 证明:当x∈(-∞,1)时,设x1<x2<1, 则1-x1>0,1-x2>0, ∴f(x1)-f(x2)=-=, ∵1-x1>0,1-x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增.同理f(x)在(1,+∞)上单调递增. |
举一反三
对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的-个“好区间”.给出下列4个函数: ①f(x)=sinx; ②f(x)=|2x-1|; ③f(x)=x3-3x; ④f(x)=lgx+l. 其中存在“好区间”的函数是______. (填入相应函数的序号) |
已知x、y满足x2+y2=4,则z=3x-4y+5的取值范围是( )A.[-5,15] | B.[-10,10] | C.[-2,2] | D.[0,3] |
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函数y=+lg(2x+1)的定义域是( )A.(-,+∞) | B.(-,2) | C.(-,) | D.(-∞,-) |
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设集合A=[0,),B=[,1],函数f(x)=,若f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是( ) |
已知函数f(x)=,则f(x)的值域是______. |
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