已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）．若f（x）的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）．若f（x）的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出若不存在，请说明理由．

答案

设符合条件的f（x）存在，
∵函数图象的对称轴是x=-

b

2

，
又b≥0，∴-

b

2

≤0．
①当-

1

2

＜-

b

2

≤0，即0≤b＜1时，
函数x=-

b

2

有最小值-1，则

f(- b 2 )=-1 f(-1)=0

⇒

b2 4 - b2 2 +c=-1 1-b+c=0

⇒

b=0 c=-1

或

b=4 c=3

（舍去）．
②当-1＜-

b

2

≤-

1

2

，即1≤b＜2时，则

f(- b 2 )=-1 f(0)=0

⇒

b=2 c=0

（舍去）或

b=-2 c=0

（舍去）．
③当-

b

2

≤-1，即b≥2时，函数在[-1，0]上单调递增，则

f(-1)=-1 f(0)=0

解得

b=2 c=0.

综上所述，符合条件的函数有两个，
f（x）=x²-1或f（x）=x²+2x．